Tema: Método de relajación sucesiva.

Este método se basa en:
•Una técnica que intenta mejorar la convergencia del método de Gauss Seidel mediante el refinamiento de la aproximación actual.

•Se debe observar que el parámetro “w” se comporta como un factor de ponderación actual y de la aproximación anterior.

•Fórmula de Gauss-Seidel con Relajación:

Aspectos a tomar en cuenta: pesos = w

•Si 0<w<1 se conoce como sub-relajación, se emplea para un sistema que no converge.

•Si w=1 el resultado no se modifica.

•Si  1<w<2 se le llama sobre-relajación, el cual acelera la convergencia del sistema que ya converge.

•Si w>2 el método diverge.

Utilidad de los números Racionales

Los números racionales debido a que están conformados por todos los enteros y fraccionarios y a su vez estos incluyen a los Números enteros y fraccionarios consideramos a todos ellos utilizados en nuestra vida cotidiana.

Por ejemplo:

Los números acotan todo lo que nos rodea, con pruebas sencillas podemos experimentar la aplicación de la aritmética en la vida cotidiana, desde los sistemas decimales para medir la distancia y la temperatura hasta la utilización del comercio electrónico y el cálculo del número de asistentes a una manifestación.

Empezamos por lo más sencillo: ¿Cómo saber cuántas ovejas tenemos?, o ¿Cuántas se comió el lobo? hay que contar y para ello utilizamos los números naturales: 1,2,3,4,5...

¿Qué día es hoy?, ¿Cuándo naciste?, hay que contar y ordenar y para ello usamos los números cardinales: 0,1,2,3.....

¿Cómo representar las temperaturas bajo cero? ¿Cómo contar cuando debemos más de lo que tenemos? Hay que contar a ambos lados de una referencia, y para ello usamos los números enteros:: -3, -2, -1, 0, 1... 

¿Cómo repartir un premio entre tres? ¿Cómo medir con la exactitud deseada? Hay que repartir y comparar, para lo que hay que usa los números racionales: ½, 2/3, ¼...

Pero podemos complicarlo todavía más: algo tan cotidiano y sencillo como una tarjeta de crédito contiene una clave cifrada en una fórmula matemática, conocida como proporción áurea, que ha seducido a los artistas desde la Antigüedad, y que explica desde la belleza del templo del Partenón, en Atenas, y la del hombre de Vitrubio de Leonardo hasta la de los elegantes mecheros Dupont.

Y encontramos más ejemplos: los automóviles registran el trayecto recorrido aplicando el número Pi (la razón entre el perímetro de la circunferencia y el diámetro) al giro de las ruedas; las hojas de papel DIN A 4 se miden a partir de una raíz cuadrada y las ramificaciones del sistema nervioso se pueden comprender con un tipo de número llamado fractal.

Pi, hallado hacia 1650 a.C., del que se han encontrado 4.294 millones de decimales (según la Universidad de Tokio), es uno de los números estrella del "salón de la fama de las cifras", que enmarca la muestra. Otros son el Gúgol, una cantidad mareante que consiste en un 1 seguido de cien ceros, algo más que la cantidad de partículas elementales que hay en todo el universo (10 elevado a 80). O el 9 elevado a 9 elevado a 9, que es el mayor número con notación decimal que puede escribirse con tres dígitos. Su resultado es un mastodonte de 369.693.100 dígitos. 

Es así que a diario venimos usando desde que tenemos uso de razón los números y en especial los Racionales.

Para seguir aprendiendo:

Números enteros

Los números enteros son del tipo:

= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

Es decir, los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.

Valor absoluto

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.

Criterios para conocer el orden de los números enteros.

1. Todo número negativo es menor que cero.

2. Todo número positivo es mayor que cero.

3. De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.

4. De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.

Suma de números enteros

1. Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común.

2. Si los comandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.

Propiedades

1. Interna:

a + b

2. Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c) ·

3. Conmutativa:

a + b = b + a

4. Elemento neutro:

a + 0 = a

5. Elemento opuesto

a + (-a) = 0

Diferencia de números enteros

La resta de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

a - b = a + (-b)

Propiedades

1. Interna:

a − b

2. No es Conmutativa:

Mutiplicación de números enteros

El producto de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Regla de los signos

Propiedades

1. Interna:

a · b

2. Asociativa:

(a · b) · c = a · (b · c)

3. Conmutativa:

a · b = b · a

4. Elemento neutro:

a ·1 = a

5. Distributiva:

a · (b + c) = a · b + a · c

6. Sacar factor común:

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

a · b + a · c = a · (b + c)

Cociente de números enteros

El cociente de dos números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el cociente de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Propiedades

1. No es una operación interna

2. No es Conmutativo:

Potencias con exponente natural

La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas:

·

Propiedades

1. a0 = 1 ·

2. a1 = a

3. Producto de potencias con la misma base:

am · a n = am+n

4. División de potencias con la misma base:

am : a n = am - n

5. Potencia de una potencia:

(am)n=am · n

6. Producto de potencias con el mismo exponente:

an · b n = (a · b) n

7. Cociente de potencias con el mismo exponente:

an : b n = (a : b) n

Potencias de exponente entero negativo

La operación de raíz cuadrada

La raíz cuadrada es la operación inversa a elevar al cuadrado y consiste en averiguar el número cuando se conoce su cuadrado.

Raíz cuadrada exacta

La raíz cuadrada es exacta, siempre que el radicando sea un cuadrado perfecto.

Raíz cuadrada entera

La raíz cuadrada es entera, siempre que el radicando no es un cuadrado perfecto.

Operaciones combinadas

Prioridades

1º. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.

2º. Calcular las potencias y raíces.

3º. Efectuar los productos y cocientes.

4º. Realizar las sumas y restas.

Razones Trigonometricas.

Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo

Seno

El seno del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

Se denota por sen B.

Coseno

El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.

Se denota por cos B.

Tangente

La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.

Se denota por tg B.

Cosecante

La cosecante del ángulo B es la razón inversa del seno de B.

Se denota por cosec B.

Secante

La secante del ángulo B es la razón inversa del coseno de B.

Se denota por sec B.

Cotangente

La cotangente del ángulo B es la razón inversa de la tangente de B.

Se denota por cotg B.

Para seguir aprendiendo:

Fracciones parte 2

Sumas de fracciones con igual denominador

Por ejemplo:

Lo único que tenemos que hacer es sumar los numeradores y dejar el mismo denominador. Entonces el resultado es

Sumas de un número y una fracción

Por ejemplo:

Lo primero que tenemos que hacer es convertir el 2 en una fracción. Como sabemos, podemos poner un 1 en el denominador de cualquier número y no varía el resultado:

Cuando ya tenemos las dos fracciones, tenemos que buscar el denominador común. En este caso es muy fácil porque el mínimo común múltiplo del 1 y cualquier número es ese número. Es decir:

Entonces solo tenemos que multiplicar 2 x 4 y nos queda

y poniéndolo en nuestra suma

Sumas de fracciones con denominadores coprimos

Recuerda que dos números son coprimos si su máximo común divisor es 1. Por ejemplo en la suma:

Los denominadores son coprimos, ya que:

Estos casos son muy fáciles porque lo único que tenemos que hacer para hallar los numeradores de las nuevas fracciones es multiplicar cada numerador por el denominador de la otra fracción. Es decir:

Y para el denominador simplemente multiplicamos los dos denominadores. De manera que nos queda que

y

y ya solo queda poner juntas las dos fracciones y sumarlas:

Sumas de fracciones en general

Por ejemplo:

Tenemos que calcular el mínimo común múltiplo de los denominadores:

¿Qué tenemos que hacer después? Vamos a hacerlo despacito. Primero con la fracción

Para hallar el numerador, dividimos el mcm entre el denominador de la fracción

El 2 es el número por el que tenemos que multiplicar el numerador de la fracción. Es decir,

Así que el numerador de nuestra nueva fracción es 6.

Para el denominador, solo tenemos que coger el mcm que es 18, así que nos queda que

Ahora hacemos lo mismo con la otra fracción. Para hallar el numerador dividimos

y multiplicamos por el numerador

Y cogiendo como denominador el mcm nos queda que

Ya solo queda ponerlo todo en la suma…

¡Y ya está!

En realidad, todas las sumas de fracciones se hacen de esta forma, los primeros casos son más fáciles por el resultado que nos da cuando hacemos el mcm. Pero la forma de resolverlos en todos los casos es igual.

En resumen, los pasos que tenemos que seguir para hacer una suma de fracciones son:

Hallar el mcm de los denominadores.

Para convertir cada fracción en una fracción con el mcm en el denominador, dividimos el mcm entre el denominador y lo multiplicamos por el numerador.

Cuando hayamos hecho el paso anterior con todas las fracciones, las ponemos todas en la misma línea y simplemente sumamos todos los numeradores.

Fracciones.

Fracciones: 

En matemáticas, una fracción, número fraccionario, ​ es la expresión de una cantidad dividida entre otra cantidad; es decir que representa un cociente no efectuado de números.

En esta ocasión vamos a resolver problemas de fracciones con sumas, restas e incorporando números mixtos (aquellos que están formados por una parte entera y una fraccionaria).

Primero debes intentar hacerlo los problemas por tu cuenta y después puedes mirar más abajo las soluciones con sus respectivas explicaciones.

Problemas de fracciones 1

Problemas de fracciones 2

Problemas de fracciones 3

Solución Problema 1

Se trata de un problema de suma de un número entero con una fracción.

En este primer problema, para saber las docenas que se nos piden la forma más sencilla de exponer nuestro resultado es con un número mixto, ya que el resultado nos viene prácticamente dado por los propios datos que nos encontramos. 9 docenas + 5/6 de docena = 9 5/6 docenas.

Solución Problema 2

En este caso tenemos un problema de resta de dos fracciones con el mismo denominador.

Para calcular la parte del deposito que nos pide el problema, debemos restar ambas fracciones. Como los dos datos están expresados en forma de fracción, la mejor forma de dar la solución es también en forma de fracción. Al tratarse de dos fracciones con el mismo denominador, solo tenemos que restar los numeradores de ambas fracciones para obtener la fracción resultante. 8/10 – 4/10 = 4/10

Solución Problema 3:

En este otro caso se nos presenta un problema de resta de un número mixto y una fracción.

Para poder resolver este problema debemos restar la cantidad de capítulos que descargó esta mañana a la cantidad de capítulos que tiene descargados ahora. Para poder hacer esto, debemos transformar el número mixto en una fracción, el 5 se convierte en 60/12 (5 x 12 = 60) y ahora le sumamos la parte de fracción 60/12 + 8/12 = 68/12, ya hemos transformado el número mixto 5 8/12 en 68/12. Ahora solo tenemos que restarle a esa fracción, la cantidad de capítulos que se descargó ayer (7/12), 68/12 – 7/12 = 61/12.

Para seguir practicando: